Les tentatives de créer un volume de Mandelbrot en 3D, équivalent à l'espace homonyme connu en 2D, ne datent pas d'hier, mais le résultat n'a jamais été réellement impressionnant. Du moins jusqu'à la semaine dernière, quand Daniel White a décidé de faire un rendu d'un Mandelbrot en 3D, qu'il a appelé Mandelbulb.

Mandelbulb - Daniel White
Mandelbulb - Daniel White

Au lieu de visualiser des tranches d'un ensemble à 4 dimension (une sorte de coupes d'ensembles de Julia comme on le voit habituellement), il est partie de la construction de la fractale, d'un point de vue trigonométrique et non complexe. En effet, la formule de base qui permet de construire l'ensemble de Mandelbrot est : zn+1 = zn2 + c, avec z0 = 0, pour chaque point c du plan.

Cette opération peut se ramener à une suite de transformation d'un point du plan, par rotation, multiplication puis translation. Du coup, le passage de coordonnées planes cartésiennes à des coordonnées spatiales sphériques se fait facilement, et on obtient une formule permettant de définir un volume, qu'il a ensuite utilisé avec un moteur de rendu de haute qualité, ce qui permet d'obtenir les images commes celles ci dessus. Pour ceux qui veulent voir l'explication plus en détails, il l'explique lui même sur sa page, et fourni même l'algorithme.

En bonus, une vidéo montrant quelques mille coupes d'un détail du volume calculé par Daniel White. Un pur bonheur.


3D Mandelbulb mountain cross sections [Youtube]

Le résultat est une véritable fractale, zoomable à l'infini, avec le principe d'auto-similarité, et les rendus proposés par Daniel White sont tout bonnement bluffant.Cependant, de son propre aveux, Daniel White n'est pas convaincu qu'il s'agisse d'un vrai volume de Mandelbrot, car il ne suffit pas d'élever le point de base au carré, mais à la puissance 8 pour obtenir des résultats intéressants. Il a repoussé les limites de la Terra Incognita, mais beaucoup de chemin reste à faire, et beaucoup d'images à découvrir. Tant mieux :).

If the 2D Mandelbrot is the thumbprint of God, what does that make the 3D Mandelbrot?
Er, the heart? Brain? Or the liver maybe? Ask a stupid question...

Daniel White